Ŵ schreiben, wobei einerseits. 2m m!2ˆx 2, einen eindimensionalen harmonischen Oszillator beschreibt, dessen Eigenenergien. ~! (VIII.

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1 0 Näherungsmethoden in der Quantenmechanik VIII.. c :::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Beispiel: anharmonischer Oszillator Als Beispiel für die in den vorigen Paragraphen entwickelten Störungsrechnung kann man den eindimensionalen anharmonischen Oszillator mit Hamilton-Operator Ĥ = ˆp m + m!ˆx + m! 3 ~ ˆx mit R (VIII.9) betrachten. Dieser Hamilton-Operator lässt sich als Ĥ = Ĥ0 + Ŵ schreiben, wobei einerseits Ĥ 0 ˆp m + m!ˆx, (VIII.0a) einen eindimensionalen harmonischen Oszillator beschreibt, dessen Eigenenergien E 0,n = n + ~! (VIII.0b) in Abschn. IV. bestimmt wurden; andererseits stellt eine Störung dieses Oszillators dar. Ŵ m! 3 ~ ˆx (VIII.0c) Man kann schnell prüfen, dass ein Term in ˆx die einfachste nicht-triviale Störung darstellt. In der Tat kann ein linearer Störungsterm Ŵ / ˆx als eine Verschiebung des Ortsvektors behandelt werden, so dass das Problem exakt lösbar bleibt und zu einer globalen Verschiebung aller Energieniveaus um einen konstanten Beitrag führt. Dann ist eine quadratische Störung Ŵ / ˆx äquivalent zu einer Änderung der Kreisfrequenz!, und ergibt wieder ein exakt lösbares Problem. Schließlich ist das Problem mit einer kubischen Störung Ŵ / ˆx3 zwar nicht exakt lösbar; man sieht aber schnell, dass die erste Ordnung in Störungsrechnung wegen der Parität der Störung verschwindet. Lösung mit Auf- und Absteigeoperatoren Ein erster möglicher Lösungsweg macht die in Abschn. IV.. eingeführten Auf- und Absteigeoperatoren â und â zu Nutze. Mit deren Hilfe lauten die Eigenzustände des harmonischen Oszillators [Gl. (IV.6)] ni = p â 0i 8n N (VIII.) n! und es gelten die einfachen Beziehungen [Gl. (IV.6)] Schließlich lautet der Ortsoperator â ni = p n + n +i, â ni = p n n i 8n N. (VIII.) ˆx = r ~ m! (â +â ), so dass der Störungsterm auch durch â und â ausgedrückt werden kann. Unter Nutzung der Gl. (VIII.3) lautet die Korrektur zur Energie des n-ten Niveaus zur ersten Ordnung in Störungsrechnung () n = hn Ŵ ni = m! 3 ~ ~ m! hn (â +â ) ni = ~! 6 hn (â +â ) ni. (VIII.3) Um die Energiekorrektur zu finden, muss man daher das diagonale Matrixelement hn (â+â ) ni bestimmen. Dafür soll man natürlich die vierte Potenz (â+â ) berechnen, was a priori zu 6 Beiträgen führt, weil â und â nicht vertauschen. Dank den Beziehungen (VIII.) und der Orthogonalität

2 VIII. Stationäre Störungsrechnung der Eigenzustände { ni} kann man aber schon merken, dass viele der 6 Terme keinen Beitrag zum gesuchten Matrixelement liefern werden. Um einen nicht-verschwindenden Beitrag zu erhalten, muss man mit der auftretenden Kombination der Auf- und Absteigeoperatoren insgesamt zweimal nach oben und zweimal nach unten wirken. Das heißt, dass â und â genau zweimal auftreten müssen. Beginnend mit (â +â ) =(ââ +ââ +â â +â â ) findet man (â +â ) =âââ â +ââ ââ +ââ â â +â âââ +â ââ â +â â ââ + irrelevante Terme. Unter Nutzung der Beziehungen (VIII.) und der Normierung hn ni = lautet das gesuchte Matrixelement d.h. noch hn (â +â ) ni =(n + )(n + ) + (n + ) +(n + )n + n(n + ) + n + n(n ), hn (â +â ) ni =6n +6n +3. Somit lautet die Korrektur (VIII.3) zur Energie des Zustands ni () n = ~! 6 (6n +6n + 3) = 3~! n + + 3~! 8 8 n. (VIII.) Wiederum lautet die Eigenenergie des n-ten Energieniveaus des Hamilton-Operators (VIII.9) zur ersten Ordnung in Störungsrechnung E n ' E 0,n + () n = n ~! ~!n. (VIII.5) Dabei kann der Faktor + 3 /8 als eine Korrektur der Kreisfrequenz! des ungestörten Oszillators. Dagegen entspricht der Term in n einer neuen Struktur des Energiespektrums, dessen Niveaus nicht mehr äquidistant sind. Lösung in Ortsdarstellung Alternativ kann man die Eigenfunktionen (IV.37b) des harmonischen Oszillators benutzen, die hiernach mit n bezeichnet werden: r m! n(x) =C n H n ~ x e m!x /~ m! / mit C n p ~ n n!. (VIII.6) Mit deren Hilfe lautet die Korrektur erster Ordnung zum Energieeigenwert Z () n = n(x) V (x)dx = m! 3 Z apple r m! ~ C n x H n ~ x e m!x /~ dx. Mit der Substitution = p m!/~ x wird dieser Ausdruck zu () n = ~! n n! p Z H n ( ) e d. (VIII.7) Die Rekursionsformel (B.9) für die Hermiteschen Polynome gibt H n ( ) = H n+( )+nh n und daher H n ( ) = H n+( )+n H n ( ) = H n+( )+ n + H n ( )+ n H n( )+n(n )H n ( ); dann ( )

3 Näherungsmethoden in der Quantenmechanik 3 H n ( ) = H n + n+( )+ H n ( )+n(n ) H n ( ) = apple n+ 8 H n+3( )+ + n+ apple n +n n(n ) H n+ ( )+ + H n ( )+ n! (n 3)! H n 3( ); und schließlich H n ( ) = n+3 6 H n+( )+ + 3n apple 3n (n ) + + apple 3n+3 H n+ ( )+ (n + ) + 3n n(n )(n ) H n ( ) H n ( )+ n! (n )! H n ( ). Wenn dieser Ausdruck mit H n ( )e multipliziert und das ganze danach über R integriert wird, trägt laut der Beziehung (B.0a) nur der Term mit H n bei: Z H n ( ) H n ( )e d = 6n +6n +3 Somit wird die Energiekorrektur (VIII.7) zu Z entsprechend dem schon gefundenen Ergebnis (VIII.). Hn ( ) e d = 6n +6n +3 n n! p. () n = ~! 6 (6n +6n + 3), (VIII.8) Zur Konvergenz der Störungsreihe In Abb. VIII. wird der Verlauf des Potentials (VIII.9) für zwei Werte des Parameters gezeigt, und zwar links für einen positiven Wert >0 und rechts für einen negativen Wert <0. Im V (x) V (x) x x Abbildung VIII. Potential des anharmonischen Oszillators (VIII.9). Links: mit >0; rechts: mit <0. letzteren Fall geht das Potential gegen als x gegen geht, so dass es physikalisch keinen gebundenen Zustand geben kann. Diese Tatsache bedeutet wiederum, dass die für E n ( ) angenommene Potenzreihe (VIII.5b) für jeden beliebigen <0 nicht konvergieren darf, d.h. dass der Konvergenzradius der Potenzreihe Null ist. In der Tat wurde das asymptotische Verhalten der Potenzreihe für diese Störung des harmonischen Oszillators untersucht [0]: für große Ordnungen p n der Störungsrechnung gilt (p) n ( )p+p 6 n p 3 n + p + ~! n! 3/

4 VIII. Stationäre Störungsrechnung 3 mit der Gamma-Funktion. Dann gilt für das Verhältnis zweier sukzessiver Terme der Potenzreihe (VIII.5b) p+ (p+) n = (p+) n ' 3 (n + p + 3 ) p (p) n (p) n (n + p + ) = 3 n + p +, wobei die charakteristische Eigenschaft (B.56) benutzt wurde. Für 6= 0und für jede n N geht dieses Verhältnis gegen Unendlich im Limes p!:nachdemkonvergenzkriteriumvon d Alembert (aj) divergiert die Reihe mit Summanden p (p) VIII..3 Störungstheorie eines entarteten Zustands Im Fall eines entarteten Eigenwerts E 0,n von Ĥ0 kann die Energieverschiebung nicht mit dem oben dargestellten Verfahren bestimmt werden, zumindest ab der zweiten Ordnung. Dann können nämlich die Energienenner der Korrekturen (p) n Null werden, z.b. in Gl. (VIII.8). Das Problem ist, dass jede Linearkombination der Eigenvektoren n,ai mit a {,...,g n } auch Eigenvektor von Ĥ0 mit demselben Eigenwert E 0,n ist. Nun kann offensichtlich nicht jeder solche Eigenzustand von Ĥ0 analytisch mit einem Eigenzustand von Ĥ zusammenhängen, wenn die Entartung des Niveaus durch die Störung (teilweise) aufgehoben wird. Somit steht ein Widerspruch zu einer impliziten Annahme des Ansatzes (VIII.5b). Wir müssen also g n solche Linearkombinationen der n,ai finden, aus denen exakte Eigenzustände von Ĥ beim Einschalten der Störung hervorgehen. Man findet, dass die Energiekorrekturen erster Ordnung { () n,a} für a {,...,g n } genau die Eigenwerte von der Einschränkung von Ŵ auf Eigenraum von E 0,n sind. Somit lohnt es sich, eine (Orthonormal)Basis von Linearkombinationen der Eigenvektoren n,ai zu bestimmen, in der die Störung Ŵ diagonal ist. Sei { n,bi} b=,...,gn eine Orthonormalbasis von Eigenzuständen von Ĥ0 mit dem Eigenwert E 0,n. Sei a {,...,g n }. Die einzige Einschränkung aus der Gl. (VIII.7) auf den führenden Term n,ai (0) in der Potenzreihe (VIII.5b) ist, dass dieser Term Eigenvektor von Ĥ0 mit dem Eigenwert E 0,n sein muss. Dafür lässt sich n,ai (0) als Linearkombination der Basisvektoren { n,bi} schreiben: (0) n,ai g n X b= mit g n komplexen Zahlen n,ab mit b {,...,g n }. Die Gleichung (VIII.8) zur Ordnung, n. n,ab n,bi Ĥ 0 () n,ai + Ŵ (0) n,ai = E 0,n () n,ai + () n,a (0) n,ai, ergibt nach Multiplikation mit h n,b 0 mit b 0 {,...,g n } h n,b 0 Ŵ (0) n,ai = () n,ah n,b 0 (0) n,ai für b 0 {,...,g n }, wobei h n,b 0 Ĥ0 = E 0,n h n,b 0 benutzt wurde. Unter Berücksichtigung von der Zerlegung von (0) n,ai auf der Basis { n,bi} lautet dies g n X b= h n,b 0 Ŵ n,bi () n,ah n,b 0 n,bi n,ab =0 für b 0 {,...,g n }, wobei das Skalarprodukt h n,b 0 n,bi noch durch bb 0 ersetzt werden kann. Diese Gleichungen mit b 0 {,...,g n } stellen ein System von g n linearen Gleichungen für die g n Koeffizienten n,ab.einenicht-trivialelösungexistiertnur,wenndiedeterminantederg n g n -Matrix des Systems Null ist: det h n,b 0 Ŵ n,bi () n,a bb bb 0 =0. (VIII.9) 0 Diese Bedingung heißt Säkulargleichung und zeigt, dass () n,a Eigenwert von (der Einschränkung von) Ŵ sein muss. (aj) J. le Rond d Alembert,

5 Näherungsmethoden in der Quantenmechanik Beispiel: Stark-Effekt :::::::::::::::::::::: Die oben dargelegte Idee kann an das Beispiel eines Ein-Elektron-Atoms in einem gleichförmigen äußeren elektrischen Feld E, ~ dessen Richtung die z-achse definiert: E ~ = E ~e ~ z, angewandt werden. Dieses Problem wird durch den Hamilton-Operator (hier in Ortsdarstellung) Ĥ = ~ µ e r + e ~ E z (VIII.30) beschrieben werden, wobei die ersten zwei Terme dem Hamilton-Operator des exakt lösbaren Coulomb- Problems entsprechen, während der letzte Term eine Störung darstellt. Die Eigenelemente des ungestörten Operators wurden in Abschn. VI.. gefunden, und zwar Eigenwerte {E 0,n } und Eigenfunktionen { n,`,m (~r )} der Form E 0,n = Ze a Z n, n,`,m (~r )=R n`(r) Y`,m (, ') (VIII.3) mit n N, ` {0,,...,n } und m { `, ` +,...,`,`}, wobei a Z den Bohrschen Radius des Problems bezeichnet. Insbesondere hängen die Eigenenergie E 0,n nur von der Hauptquantenzahl n ab, unabhängig von ` und m, so dass die Niveaus mit n mehrfach entartet sind. Beim Einschalten des Störungsterms e E z, ~ wobei e E ~ die Rolle des Parameters spielt, wird die Entartung dieser Energieniveaus teilweise aufgehoben, entsprechend dem Stark (ak) -Effekt. Im Folgenden werden die Verschiebungen der Energien der zwei tiefsten Niveaus n =und n =in erster Ordnung Störungsrechnung bestimmt. Der Grundzustand des ungestörten Hamilton-Operators mit n =ist nicht entartet, denn es gelten dann ` =0und dementsprechend m =0, d.h. es gibt nur den Zustand mit Wellenfunktion,0,0(~r )=R 0 (r) Y 0,0 (, ') = p R 0 (r). Die Energiekorrektur erster Ordnung wird durch Gl. (VIII.3) gegeben. Indem man z = r cos schreibt, gilt Z () = e E z ~,0,0 (~r ) d 3 ~r = e ~ Z E applez Z r[r 0 (r)] cos sin d d' r dr. (VIII.3) R Dabei verschwindet das Integral über, d.h. () =0: zur ersten Ordnung in Störungsrechnung bleibt die Energie des Grundzustands unverändert. Der erste angeregte Zustand des ungestörten Hamilton-Operators, mit n =, ist viermal entartet, entsprechend den vier Möglichkeiten (` =0,m = 0), (` =,m = 0), (` =,m = ) und (` =,m= ), d.h. den vier Zuständen,0,0 i,,,0 i,,, i,,, i {,ai} mit a =,, 3,. (VIII.33) Dabei fasst der Index a die zwei Quantenzahlen ` und m zusammen, um die gleiche Notation wie in der allgemeinen Diskussion zu benutzen. Um die möglichen Energiekorrekturen erster Ordnung (),a zu bestimmen, muss man den Störungsterm Ŵ ::::I e E z ~ im Unterraum der Zustände {,ai} diagonalisieren, d.h. erstens die Säkulargleichung (VIII.9) lösen, um die Eigenwerte zu erhalten, und dann die zugehörigen Eigenvektoren finden. Dafür soll man zuerst die Matrixelemente dieses Störungsterms Z h,b 0 Ŵ,bi = e E ~ z,b 0(~r ),b(~r )d 3 ~r R 3 berechnen. Eine nicht-komplizierte Berechnung liefert h, Ŵ,i = h, Ŵ,i = 3e ~ E a Z, d.h. eine Kopplung zwischen den zwei Zuständen mit ` =0oder und m =0, während alle anderen (ak) J. Stark,

6 VIII. Stationäre Störungsrechnung 5 Matrixelemente Null sind: h,b 0 Ŵ,bi bb 0 = 0 0 3e E a ~ Z 0 0 3e E a ~ Z C A (VIII.3) Die Eigenwerte dieser Matrix sind die gesuchten Energiekorrekturen erster Ordnung (),a : (),a =0ist zweifach entartet; zwei zugehörige, linear unabhängige Eigenvektoren sind,a=3i und,a=i, entsprechend in der üblichen (n, `, m)-notation den Zuständen,, i und,, i. (),a =3e ~ E a Z ist einfacher Eigenwert mit dem Eigenvektor (,a=i,a=i)/ p, entsprechend der Linearkombination (,0,0 i,,0 i)/ p der Eigenzustände von Ĥ0 mit n = und m =0. Schließlich ist (),a = 3e ~ E a Z auch Eigenwert der Matrix (VIII.3). Der zugehörige normierte Eigenvektor ist (,a=i +,a=i)/ p =(,0,0 i +,,0 i)/ p. E 6 - ~ E E 0, E = E 0, +3e ~ E a Z E = E 0, E = E 0, 3e ~ E a Z E 0, E = E 0, Abbildung VIII.3 Energieniveaus eines Ein-Teilchen-Atoms in einem elektrischen Feldes in Abhängigkeit der Feldstärke. Abbildung (VIII.3) zeigt schematisch (5) den Verlauf der Energieniveaus mit wachsender Feldstärke E ~ zu erster Ordnung in Störungsrechnung, d.h. mit E n,a = E 0,n + () n,a. Insbesondere wird die teilweise Aufhebung der Entartung des zweiten Energieniveaus durch die Störung, d.h. der Stark-Effekt, dargestellt. (5) Das Wachstum bzw. die Abnahme mit ~ E der Niveaus mit E = E 0, ± 3e ~ E a Z ist stark übertrieben und sollte nicht mehr linear sein d.h. man sollte die höheren Ordnungen der Störungsreihe in Betracht ziehen.